Ecuaciones

Publicado: agosto 2, 2010 en Uncategorized

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Ecuación polinómica

Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella en cuyo primer miembro aparece un polinomio y en cuyo segundo miembro aparece el cero. Ejemplo:

x^3y+4x-y=-2xy  \,\!

sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:

x^3y+4x-y+2xy=0 \,\!

En cuanto a las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, estas pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuatro grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

ax+b=0\,

con a diferente de cero.

Su solución es la más sencilla:  \, x = - b /a

Resolución de ecuaciones de primer grado

Dada la ecuación:

9x-9+108x-6x-92=16x+28+396 \,

1- Transposición:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuación quedará así:

9x+108x-6x-16x=28+396+9+92 \,

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro:  \, 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x

Y simplificamos el segundo miembro:  \, 28+396+9+92 = 525

La ecuación simplificada será:

 95x = 525 \,

3- Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.

Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).

Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo).

Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

 x=525/95 \,

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

 x=105/19 \,

Resolución de ecuaciones de primer grado: problema

Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

x+3=2x-2 \,

Se podría leer así: X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

x+3=2x-2 \,

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

x-2x=-2-3 \,

Que, simplificado, resulta:

-x=-5 \,

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

x=5 \,

El problema está resuelto.

Ecuaciones de segundo grado

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x^2-16=0 \,

Pasamos -16 al segundo miembro

x^2=16 \,

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

x=\pm \sqrt16 \,
x_1=4 \,
x_2=-4 \,

La ecuación ya está resuelta

Nota: si -c/a es un número real negativo, las raíces de la ecuación son imaginarias y pertenecerán al campo de los números complejos.

 Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

Tengamos:

3x^2+9x=0 \,

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

x(3x+9)=0 \,

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

3x+9=0 \,
3x=-9 \,
x=\frac{-9}{3}=-3 \,

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.

x_1=0 \,
x_2=-3 \,

Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0

Si tenemos la ecuación cuadrática:  x^2 + 5x + 6 = 0 \,

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,

Si sustituimos las letras por los números, siendo:

a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
x=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{-5\pm1}{2}

A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3

Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.

Método II

También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:

Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:

 x^2 + b x + c \,

es equivalente a:

 (x - m) (x - n) \,

siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.

En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.

luego, la igualdad:

 x^2 + 5x + 6 = 0 \,

es equivalente a:

 (x + 2)(x + 3)=0\,
Demostración

Partiendo de la igualdad:  (x - m) (x - n) = 0 \,

operando, obtenemos:  x^2 - (m+n) x + (mn) = 0 \,

Luego, para a = 1, resulta:

 b = - (m+n) \,
 c = (mn) \,

m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.

Tipos de ecuación algebraica

Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.
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